Calcula
o limite de frações nos casos em que há uma indeterminação do tipo
Para estas
indeterminações vale a seguinte regra:
O limite da fração é
igual ao limite da derivada do numerador dividida pela derivada do denominador,
supondo as funções deriváveis no intervalo de interesse.
Mais formalmente fica:
Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo,
ou união de intervalos I, com
Observações:
a) O
teorema também é válido para limites no infinito.
b) Se
f’ e g’ satisfazem as hipóteses do teorema e
então,
c) Portanto, se a
função da qual estamos calculando o limite é n vezes diferenciável, podemos
derivar sucessivamente até “eliminar” a indeterminação.
Demonstração:
(As demonstrações a seguir serão de nenhum
rigor matemático. Observamos que a
demonstração formal é bem mais sofisticada.)
Considerações preliminares:
1) Sejam f
uma função e a um ponto de seu domínio;
é a derivada da função.
é a derivada da função.
2)
Então, temos:
1ª Regra:
Dividindo o numerador
e denominador por (x – a) temos que:
Aplicando as
propriedades dos limites, temos:
Observamos que o
numerador é a derivada de f e
denominador é a derivada de g,
então:
Como queríamos demonstrar.
2ª Regra:
Quando a indeterminação é do tipo (∞/∞):
E sabemos que:
Portanto, temos que:
Logo:
Como queríamos demonstrar.
